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\title{Fundamentos matemáticos \\ de la mecánica cuántica}

\author{Curso de Mecánica Cuántica}

\date{}

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\begin{document}

\frame{\titlepage}

\section{Introducción: El espacio de las funciones de onda}

\subsection{Estructura del espacio $\mathcal{F}$ de funciones de onda}

\begin{frame}
\frametitle{Estructura del espacio $\mathcal{F}$ de funciones de
onda}
\begin{itemize}
\sepa
\item Interpretación probabilista de la mecánica cuántica: \\
\hspace*{1cm} \alert{$\displaystyle{\int} d^3r|\psi(\mathbf{r},t)|^2
= 1$} \pause
\item Estudiamos funciones de cuadrado
integrable \pause
\item Conjunto $L^2$ con estructura de espacio de Hilbert \pause
\item Además exigimos propiedades de regularidad:
\begin{itemize}
\sepa[1pt]
  \item $\psi(\mathbf{r},t)$ Unívocamente definida en todo el espacio \pause
  \item $\psi(\mathbf{r},t)$ Continua \pause
  \item $\psi(\mathbf{r},t)$ Infinitamente diferenciable \\[1mm]
\end{itemize}
\end{itemize}
  {\scriptsize \color{blue}(en ciertos casos, con potenciales discontinuos, se suele
  exigir tan sólo la continuidad  de la \\
  primera derivada, aunque físicamente
  tales tipos de potencial sean solamente idealizaciones)}
  \pause
\begin{itemize}
\item Llamamos $\mathcal{F}$ al subespacio de $L^2$ compuesto \\
por funciones suficientemente regulares
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{$\mathcal{F}$ como espacio vectorial}
\begin{itemize}
\sepa
  \item $\mathcal{F}$ satisface los criterios de espacio vectorial: \\[1mm] \pause
  Si $\psi_1(\mathbf{r})$\footnote{Ignoraremos de momento la dependencia temporal}
  y $\psi_2(\mathbf{r}) \in \mathcal{F}$, \ entonces \ $\psi(\mathbf{r}) = \lambda_1
  \psi_1(\mathbf{r}) + \lambda_2 \psi_2(\mathbf{r}) \in \mathcal{F}$ \\
  con $\lambda_1$ y $\lambda_2$ \emph{complejos} arbitrarios.\\[2mm]
  \pause
  {\scriptsize \alert{Demostración:} \ Expandimos \\
  $|\psi(\mathbf{r})|^2 =
  |\lambda_1|^2|\psi_1(\mathbf{r})|^2 + |\lambda_2|^2|\psi_2(\mathbf{r})|^2 +
  \lambda_1^*\lambda_2\psi_1^*(\mathbf{r})\psi_2(\mathbf{r}) +
  \lambda_1\lambda_2^*\psi_1(\mathbf{r})\psi_2^*(\mathbf{r})$, \ \
  y dado que los dos \\[-1mm]
  últimos términos se acotan por \
  $|\lambda_1||\lambda_2| \, \bigl[|\psi_1(\mathbf{r})|^2 \, + \, |\psi_2(\mathbf{r})|^2\bigr]$,
 \  $\psi(\mathbf{r})$ es cuadrado-integrable}
 \pause
  \item Definición de producto escalar: \\
  Dadas $\varphi(\mathbf{r})$ y  $\psi(\mathbf{r})$ de $\mathcal{F}$,
  asociamos un complejo $(\varphi,\psi)$ como:\\[1mm]
  \fbox{$(\varphi,\psi) = \displaystyle{\int} d^3r \, \varphi^*(\mathbf{r}) \, \psi(\mathbf{r})$} \ ,
  llamado producto escalar \\[1mm]
 {\scriptsize (el producto converge siempre que $\varphi$ y $\psi$ pertenezcan a $\mathcal{F}$)}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{$\mathcal{F}$ como espacio vectorial}
\begin{itemize}
  \item Propiedades del producto escalar:
  \begin{itemize}
    \item $(\varphi,\psi) = (\psi,\varphi)^*$
    \item $(\varphi,\lambda_1\psi_1 + \lambda_2\psi_2) = \lambda_1(\varphi,\psi_1) + \lambda_2(\varphi,\psi_2)$
    \item $(\lambda_1\varphi_1 + \lambda_2\varphi_2,\psi) = \lambda_1^*(\varphi_1,\psi) + \lambda_2^*(\varphi_2,\psi)$
  \end{itemize}
  \pause
  \item Si $(\varphi,\psi) = 0$, $\varphi(\mathbf{r})$ y $\psi(\mathbf{r})$ se denominan ortogonales \\[2mm]
  \pause
  \item \fbox{$(\psi,\psi) = \displaystyle{\int} d^3r \, |\psi(\mathbf{r})|^2$} \ \ \ \parbox{0.4\textwidth}{es un número real, positivo, \\
  y nulo si y sólo si $\psi(\mathbf{r}) \equiv 0$}
  \pause
  \item Se define $\sqrt{(\psi,\psi)}$ como la norma de $\psi(\mathbf{r})$ \\
  {\scriptsize (con todas las propiedades de una norma en $\mathcal{F}$)}
  \pause
  \item Como para cualquier norma, se cumple la desigualdad de Schwarz: \ \ \
  $|(\psi_1,\psi_2)| \leqslant \sqrt{(\psi_1,\psi_1)} \sqrt{(\psi_2,\psi_2)}$ \\
  {\scriptsize (igualdad exacta si y sólo si $\psi_1$ y $\psi_2$ son proporcionales)}
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Operadores lineales}
\begin{itemize}
  \item \alert{Concepto:} \ \ Aplicación A que transforma elementos de $\mathcal{F}$: \\[1mm] \hspace*{1cm}
  $\psi(\mathbf{r}) \, \xrightarrow{\quad \displaystyle{A} \quad} \psi'(\mathbf{r})\,$, \ \ de
  forma lineal: \\[1mm] \hspace*{5mm} $A\left[\lambda_1\psi_1(\mathbf{r}) + \lambda_2\psi_2(\mathbf{r})\right]
  = \lambda_1 A \psi_1(\mathbf{r}) + \lambda_2 A \psi_2(\mathbf{r})$
  \pause
  \item \alert{Ejemplos:}
  \begin{itemize} \sepa[1mm]
  \item Operador paridad: \ \ $\prod \psi(x,y,z) = \psi(-x,-y,-z)$
  \item Multiplicación por la coordenada x: \ \ $X\psi(x,y,z) = x\psi(x,y,z)$
  \item Derivada respecto a x: \ \ $D_x\psi(x,y,z) = \displaystyle{\frac{\partial \psi(x,y,z)}{\partial x}}$
  \end{itemize}
  \pause
  \item \alert{Producto:} \ \ Definido como \ $(AB)\psi(\mathbf{r} = A[B\psi(\mathbf{r}]$
  \item \alert{Conmutador:} \ \ Operador definido como \ $[A,B] = AB - BA$ \\ (en general, $AB \neq BA$)
\end{itemize}
\pause

 {\small \begin{center} Se entiende que los operadores forman un espacio vectorial \\
(definición trivial de suma y producto por escalares) \end{center}}
\end{frame}

\subsection{Bases ortonormales discretas en $\mathcal{F}$}

\begin{frame}
\frametitle{Definición de base ortonormal}
\begin{itemize}
  \item Sea un conjunto contable de funciones de $\mathcal{F}$: \\
  \qquad $u_1(\mathbf{r}), u_2(\mathbf{r}), \dots, u_i(\mathbf{r}) \in \mathcal{F}, \dots$
  \item Es un conjunto ortonormal si: $(u_i,u_j) = \displaystyle{\int} d^3r \, u_i^*(\mathbf{r}) u_j(\mathbf{r}) =
  \delta_{ij}$\footnote{$\delta_{ij}$ es la función delta de Kronecker, igual a 1 para $i=j$ y a 0 para $i \neq j$}
  \pause
  \item Se dice que $u_i(\mathbf{r})$ constituye una \textbf{base} (ó conjunto completo) si toda función 
  $\psi(\mathbf{r}) \in \mathcal{F}$ puede ser expandida \underline{\emph{de forma única}} 
  en términos de las funciones $u_i^*(\mathbf{r})$:
  $$\boxed{\psi(\mathbf{r}) = \sum_i c_i u_i(\mathbf{r})}$$
  donde los complejos $c_i$ se denominan \\ \alert{coeficientes de la expansión de $\psi(\mathbf{r})$ en las $u_i(\mathbf{r})$}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Representación de funciones de onda}
\begin{itemize}
  \item Multiplicando la ecuación anterior por $u_j^*(\mathbf{r})$ e integrando: \\[1mm]
  \centerline{$\displaystyle{(u_j, \psi) = \Bigl(u_j, \sum_i c_i u_i\Bigr) = \sum_i c_i (u_j, u_i) = \sum_i c_i \delta_{ij} = c_j}$}
  \pause
  \item Por tanto, $c_i = (u_i, \psi) = \displaystyle{\int} d^3r u_i^*(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r})$
  \pause 
  \item Elegida $\{u_i(\mathbf{r})\}$, es equivalente especificar $\psi(\mathbf{r})$ ó el conjunto de 
  sus componentes $c_i$ respecto a las funciones base \ $\longrightarrow$ \ \textbf{Representación de 
  $\psi(\mathbf{r})$ en la base $\{u_i(\mathbf{r})\}$} 
  \pause
  \item Diferentes bases implican diferentes representaciones (se verá después el problema de cambio de base)
  \pause
  \item Se puede también, en la base $\{u_i(\mathbf{r})\}$, representar los operadores lineales como matrices 
  que actúan sobre los vectores $\{c_i\}$ 
\end{itemize}

\end{frame}

%---------------
\begin{frame}
\frametitle{Producto escalar y relación de cierre}

\end{frame}

%---------------
\begin{frame}
\frametitle{}

\end{frame}

%---------------
\begin{frame}
\frametitle{}

\end{frame}




\end{document}



\begin{frame}

\end{frame}

{\rnode{A}{\psovalbox%
[fillstyle=gradient,gradbegin=yellow,gradend=green] {\color{blue}
Nodo 1}}} \hspace{3cm}
\pause {\rnode{B}{\psovalbox%
[fillstyle=gradient,gradbegin=yellow,gradend=green] {\color{blue}
Nodo 2}}} \pause \ncline[nodesep=3pt,arrowsize=6pt]{->}{A}{B}
\naput{\scriptsize Conexion 1} \pause \vspace{3cm} \hspace*{2cm}
{\rnode{C}{\psovalbox%
[fillstyle=gradient,gradbegin=yellow,gradend=green] {\color{blue}
Nodo 3}}} \pause \ncline[nodesep=3pt,arrowsize=6pt]{->}{A}{C} \pause
\ncline[nodesep=3pt,arrowsize=6pt]{->}{B}{C}
